Подготовка к ЕГЭ по математике: решаем неравенство №1

Подготовка к ЕГЭ по математике: решаем неравенство №1

Решите неравенство:

 

latex path not specified.: \frac{\log_{4^{x+2}}16}{\log_{4^{x+2}}(-16x)}\leq\frac1{\log_4\log_{\displaystyle\frac14}4^x}

Решение:

 

ОДЗ: latex path not specified.: \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}4^{x+2}>0\\4^{x+2}\neq0\\-16x>0\\\log_{4^{x+2}}(-16x)\neq0\\4^x>0\\\log_\frac144^x>0\end{array}\\\log_4\log_\frac144^x\neq0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x+2\neq0\\x<0\\-16x\neq1\\\log_44^x<0\end{array}\\\log_\frac144^x\neq1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x\neq-2\\x<0\\x\neq-\frac1{16}\end{array}\\x\neq-1\end{array}\right. latex path not specified.: x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1)\cup(-1;-\frac1{16})\cup(-\frac1{16};0)

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство, перейдя к основанию 4 в обеих его частях:

latex path not specified.: \frac{\left({\displaystyle\frac{\log_416}{\log_44^{x+2}}}\right)}{\left({\displaystyle\frac{\log_4(-16x)}{\log_44^{x+2}}}\right)}\leq\frac1{\log_4\log_4{\displaystyle\frac1{4^x}}}; latex path not specified.: \frac{\log_416}{\log_4(-16x)}\leq\frac1{\log_4(-x)}; latex path not specified.: \frac2{\log_4(-x)+\log_416}\leq\frac1{\log_4(-x)}; latex path not specified.: \frac2{\log_4(-x)+2}\leq\frac1{\log_4(-x)}

Сделаем замену latex path not specified.: t=\log_4(-x), тогда latex path not specified.: \frac2{t+2}\leq\frac1t. Решив неравенство методом интервалов, получим latex path not specified.: t\in(-\infty;-2)\cup(0;2\rbrack

Вернемся к исходной переменной, рассмотрим 2 случая:

Не забудьте добавить наш сайт в закладки! У нас еще много полезного материала. ;)

1) latex path not specified.: log_4(-x)<-2,\;\log_4(-x)-\frac1{16}

2) latex path not specified.: 0<log_4(-x)\leq2latex path not specified.: \log_41<log_4(-x)\leq\log_416latex path not specified.: -16\leq x\leq-1

С учетом ОДЗ запишем ответ: latex path not specified.: x\in\lbrack-16;-2)\cup(-2;-1)\cup(-\frac1{16};0)

 

 

Категория:
ЕГЭ и ОГЭ · полезное

Комментарии

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

 для диалога необходимо принять правила конфиденциальности и пользовательского соглашения *

Подтвердите, что Вы не бот — выберите человечка с поднятой рукой:

Навигация